对数函数的求导是微积分中的一个重要基础内容，它不仅有固定的求导公式，还衍生出一种强大的求导技巧——对数微分法。本文将围绕log求导展开，详细解析它的基本公式、如何处理复合函数、对数微分法是什么以及如何在实际问题中应用它。
1. log求导的基本公式是什么？
log求导，首先需要掌握的是两个最基本的对数函数求导公式：自然对数ln(x)和一般对数log_a(x)。
自然对数函数ln(x)的导数
自然对数是以常数e（约等于2.71828）为底的对数，记作ln(x)。它的求导公式非常简洁：
公式 1： 对任意 x > 0，
d/dx [ln(x)] = 1/x
为什么是1/x？
推导自然对数ln(x)的导数需要用到极限的定义或者隐函数求导结合指数函数的导数。简单来说，我们可以从指数函数 y = e^x 的导数 d/dx [e^x] = e^x 出发。因为 y = e^x 与 x = ln(y) 是互为反函数。利用反函数的导数公式或者对 x = ln(y) 两边对 x 隐函数求导，都可以得出 d/dx [ln(x)] = 1/x。这里的关键在于自然对数与自然指数函数之间的特殊关系。
一般对数函数log_a(x)的导数
一般对数函数log_a(x)是以任意正数a（且a ≠ 1）为底的对数。要找到它的导数，我们可以利用换底公式将其转化为自然对数：
log_a(x) = ln(x) / ln(a)
请注意，ln(a)在这里是一个常数（因为a是常数）。因此，对log_a(x)求导就变成了对 [ln(x) / ln(a)] 求导。根据常数倍法则和自然对数求导公式：
d/dx [log_a(x)] = d/dx [ln(x) / ln(a)]
= (1 / ln(a)) * d/dx [ln(x)]
= (1 / ln(a)) * (1/x)
= 1 / (x * ln(a))
公式 2： 对任意 x > 0, a > 0 且 a ≠ 1，
d/dx [log_a(x)] = 1 / (x * ln(a))
可以看到，自然对数ln(x)的导数公式实际上是log_a(x)导数公式的一个特例，当底数a=e时，ln(e)=1，公式变为1/(x*1) = 1/x。
2. 带有复合函数的log求导 (链式法则的应用)
在实际应用中，我们遇到的往往不是简单的ln(x)或log_a(x)，而是形如ln(f(x))或log_a(f(x))的复合函数，其中f(x)是另一个关于x的可导函数。这时就需要使用链式法则来求导。
如何求ln(f(x))的导数？
根据链式法则，如果y = ln(u) 且 u = f(x)，那么 y’ = (dy/du) * (du/dx)。
我们知道 dy/du [ln(u)] = 1/u，而 du/dx 就是 f'(x)。所以：
d/dx [ln(f(x))] = (1 / f(x)) * f'(x) = f'(x) / f(x)
公式 3 (链式法则 – 自然对数)： 对可导函数 f(x) > 0，
d/dx [ln(f(x))] = f'(x) / f(x)
这个公式非常有用，它告诉我们，一个函数的自然对数的导数等于这个函数本身的导数除以这个函数本身。
如何求log_a(f(x))的导数？
类似地，对于一般对数函数log_a(f(x))，我们可以先利用换底公式转化为自然对数，再应用链式法则：
log_a(f(x)) = ln(f(x)) / ln(a)
对其求导：
d/dx [log_a(f(x))] = d/dx [ln(f(x)) / ln(a)]
= (1 / ln(a)) * d/dx [ln(f(x))]
= (1 / ln(a)) * (f'(x) / f(x))
= f'(x) / (f(x) * ln(a))
公式 4 (链式法则 – 一般对数)： 对可导函数 f(x) > 0 且 a > 0, a ≠ 1，
d/dx [log_a(f(x))] = f'(x) / (f(x) * ln(a))
这同样是基本公式在复合函数情况下的推广。
3. 什么是对数微分法？为什么要使用它？(什么时候/哪里使用？)
什么是对数微分法？
对数微分法（Logarithmic Differentiation）是一种利用对数函数的性质来简化复杂函数求导过程的技术。
它并非一个独立的求导公式，而是一种求导的“策略”或“方法”。其核心思想是：对于一个函数 y = f(x)，先对其两边取自然对数，得到 ln(y) = ln(f(x))，然后利用对数性质简化 ln(f(x))，接着对等式两边关于 x 进行隐函数求导，最后解出 y’。
为什么要使用对数微分法？ (什么时候/哪里使用？)
对数微分法之所以有用，是因为对数函数有以下重要的性质：
- 乘积的对数等于对数的和： ln(uv) = ln(u) + ln(v)
- 商的对数等于对数的差： ln(u/v) = ln(u) – ln(v)
- 幂的对数等于指数乘以对数： ln(u^v) = v * ln(u)
这些性质可以将复杂的乘积、商或幂运算转化为更简单的加法、减法或乘法运算。求导时，加法和减法比乘法和商更简单，而将幂上的函数“移”下来变为乘积，可以避免使用复杂的链式法则或幂法则的组合。
因此，对数微分法特别适用于以下类型的函数求导：
- 函数是多个因子的乘积和商的复杂组合，例如：
y = (x^2+1) * sqrt(2x-1) / (x^3+4) - 函数的形式是幂函数，但底数和指数都含有变量，例如：
y = x^x，y = (sin x)^cos x。这类函数不能简单地使用幂法则 (d/dx [x^n] = nx^(n-1)，这里的n是常数) 也不能简单地使用指数函数法则 (d/dx [a^x] = a^x ln a，这里的a是常数)。对数微分法是解决这类问题的标准方法。
在这些情况下，直接使用乘积法则、商法则、链式法则可能会非常繁琐且容易出错。对数微分法则通过先取对数进行简化，再求导，使得过程条理清晰，大大降低了计算复杂度。
4. 如何进行对数微分？ (具体步骤)
对数微分法有一套标准的执行步骤，按照这些步骤可以高效地解决复杂的求导问题：
如何应用这个方法？
假设我们要找到函数 y = f(x) 的导数 y’。
具体步骤：
- 设 y = f(x): 明确需要求导的函数。
- 对等号两边取自然对数: 得到 ln(y) = ln(f(x))。
- 利用对数性质简化 ln(f(x)): 运用 ln(uv)=ln(u)+ln(v)，ln(u/v)=ln(u)-ln(v)，ln(u^v)=v*ln(u) 等性质，将等号右边的表达式展开、简化。
-
对等号两边关于 x 求导:
- 左边 ln(y) 对 x 求导，需要使用链式法则和隐函数求导的思想：
d/dx [ln(y)] = (d/dy [ln(y)]) * (dy/dx) = (1/y) * y'。 - 右边 ln(f(x)) 简化后的表达式对 x 求导，应用基本的求导法则（常数倍法则、加减法则、乘积法则、链式法则等）。
求导后得到的等式形式为：
(1/y) * y' = [ln(f(x)) 简化后的表达式] 的导数。 - 左边 ln(y) 对 x 求导，需要使用链式法则和隐函数求导的思想：
-
解出 y’: 将步骤4得到的等式两边同乘以 y，得到
y' = y * [ln(f(x)) 简化后的表达式] 的导数。最后，将表达式中的 y 替换回原来的 f(x)。
完成以上步骤，就得到了原函数 f(x) 的导数 y’ 或 f'(x)。
5. log求导的实际应用和例子 (怎么做？)
通过具体的例子来理解log求导的基本公式和对数微分法的应用是最好的方式。
例1：基础应用 ln(x² + 1)
求函数 y = ln(x² + 1) 的导数。
这是一个复合函数，外层函数是ln(u)，内层函数是 u = x² + 1。使用链式法则公式 3：d/dx [ln(f(x))] = f'(x) / f(x)。
- 设 f(x) = x² + 1。
- 求 f'(x)：
f'(x) = d/dx [x² + 1] = 2x。 - 根据公式，导数 y’ = f'(x) / f(x) = 2x / (x² + 1)。
因此，d/dx [ln(x² + 1)] = 2x / (x² + 1)。
例2：基础应用 log₁₀(sin(x))
求函数 y = log₁₀(sin(x)) 的导数。需要满足 sin(x) > 0。
这是一个复合函数，外层是 log₁₀(u)，内层是 u = sin(x)。使用链式法则公式 4：d/dx [log_a(f(x))] = f'(x) / (f(x) * ln(a))。
- 底数 a = 10。
- 设 f(x) = sin(x)。
- 求 f'(x)：
f'(x) = d/dx [sin(x)] = cos(x)。 - 根据公式，导数 y’ = f'(x) / (f(x) * ln(10)) = cos(x) / (sin(x) * ln(10))。
- 也可以写成 y’ = (cos(x)/sin(x)) * (1/ln(10)) = cot(x) / ln(10)。
因此，d/dx [log₁₀(sin(x))] = cot(x) / ln(10)。
例3：对数微分法应用 (乘积/商) y = (x² + 1)⁴ * ³√(2x – 1) / sin(x)
求函数 y = (x² + 1)⁴ * (2x – 1)^(1/3) / sin(x) 的导数。
直接使用乘积法则和商法则会非常复杂。使用对数微分法：
- 设 y = (x² + 1)⁴ * (2x – 1)^(1/3) / sin(x)
- 取自然对数:
ln(y) = ln [ (x² + 1)⁴ * (2x - 1)^(1/3) / sin(x) ] - 利用对数性质简化:
ln(y) = ln [ (x² + 1)⁴ * (2x - 1)^(1/3) ] - ln [ sin(x) ]ln(y) = ln [ (x² + 1)⁴ ] + ln [ (2x - 1)^(1/3) ] - ln [ sin(x) ]ln(y) = 4 * ln(x² + 1) + (1/3) * ln(2x - 1) - ln(sin(x))现在右边的表达式变成了简单的加减项，每一项都容易求导。
- 对等式两边关于 x 求导:
左边：
d/dx [ln(y)] = y'/y右边：
d/dx [4 * ln(x² + 1) + (1/3) * ln(2x - 1) - ln(sin(x))]= 4 * d/dx [ln(x² + 1)] + (1/3) * d/dx [ln(2x - 1)] - d/dx [ln(sin(x))]应用链式法则 (d/dx [ln(f(x))] = f'(x)/f(x)) 到每一项：
- d/dx [ln(x² + 1)] = (2x) / (x² + 1)
- d/dx [ln(2x – 1)] = (2) / (2x – 1)
- d/dx [ln(sin(x))] = (cos(x)) / (sin(x)) = cot(x)
所以右边的导数是：
4 * (2x / (x² + 1)) + (1/3) * (2 / (2x - 1)) - cot(x)= 8x / (x² + 1) + 2 / (3(2x - 1)) - cot(x)现在等式变为：
y'/y = 8x / (x² + 1) + 2 / (3(2x - 1)) - cot(x) - 解出 y’:
将等式两边同乘以 y：
y' = y * [ 8x / (x² + 1) + 2 / (3(2x - 1)) - cot(x) ]最后将 y 替换回原函数：
y' = [ (x² + 1)⁴ * (2x - 1)^(1/3) / sin(x) ] * [ 8x / (x² + 1) + 2 / (3(2x - 1)) - cot(x) ]虽然最后的表达式看起来还是复杂，但通过对数微分法，每一步求导都相对简单，避免了直接使用乘积、商和复杂的链式法则嵌套。
例4：对数微分法应用 (变幂函数) y = x^x
求函数 y = x^x 的导数 (假设 x > 0)。
这是一个底数和指数都含有变量的函数。对数微分法是首选方法。
- 设 y = x^x
- 取自然对数:
ln(y) = ln(x^x) - 利用对数性质简化: 应用 ln(u^v) = v * ln(u)
ln(y) = x * ln(x)现在右边是两个函数的乘积 (x 和 ln(x))。
- 对等式两边关于 x 求导:
左边：
d/dx [ln(y)] = y'/y右边：
d/dx [x * ln(x)]应用乘积法则 d/dx [uv] = u’v + uv’- 设 u = x, v = ln(x)
- u’ = d/dx [x] = 1
- v’ = d/dx [ln(x)] = 1/x
所以右边的导数是：
1 * ln(x) + x * (1/x) = ln(x) + 1现在等式变为：
y'/y = ln(x) + 1 - 解出 y’:
将等式两边同乘以 y：
y' = y * (ln(x) + 1)最后将 y 替换回原函数：
y' = x^x * (ln(x) + 1)因此，d/dx [x^x] = x^x (ln(x) + 1)。这个结果非常经典，是对数微分法应用的一个典型示例。
6. 使用log求导的注意事项
在使用log求导公式或对数微分法时，需要注意以下几点：
- 定义域： 对数函数的真数必须大于零。因此，在求ln(f(x))或log_a(f(x))的导数时，隐含要求 f(x) > 0。在使用对数微分法对 y=f(x) 求导时，如果f(x)可能取负值，理论上应该考虑 |f(x)|，即 ln(|y|) = ln(|f(x)|)。但在大多数实际应用中，如果求导只针对函数在某一段恒大于零的区间，直接取对数是允许的。如果函数可能取负值，完整的对数微分法应从 ln(|y|) = ln(|f(x)|) 开始。不过在微积分入门阶段，通常限定在真数大于零的范围内讨论。
- 链式法则： 对数函数的求导几乎总是伴随着链式法则的应用，特别是当真数是复合函数时 (ln(f(x)), log_a(f(x)))。不要忘记乘以内层函数的导数。
- 对数微分法最后一步： 使用对数微分法求导后，得到的等式是 y’/y = …。务必不要忘记最后一步：将等式两边乘以 y，并将 y 替换回原始函数 f(x)，才能得到 y’ 或 f'(x)。
- 区分常数底数和变量底数/指数： d/dx [a^x] (a是常数) 用指数函数求导公式；d/dx [x^n] (n是常数) 用幂法则；d/dx [f(x)^g(x)] (底数和指数都是变量) *必须* 使用对数微分法或化为 e^(g(x)ln f(x)) 再用链式法则。
掌握这些基本公式、链式法则的应用以及对数微分法这一强大技巧，就能应对绝大多数涉及对数函数的求导问题。通过多加练习，熟练运用这些方法，将有助于更好地理解和掌握微积分。