【arctanx的积分】是什么？——理解其结果
我们讨论的【arctanx的积分】通常指的是函数 \(f(x) = \arctan(x)\) 的不定积分。不定积分的结果是一个函数族，其导数等于被积函数。
经过标准积分方法计算后，\(\arctan(x)\) 的不定积分结果为：
∫ arctan(x) dx = x arctan(x) – ½ ln(1 + x²) + C
其中：
- \( \arctan(x) \) 是反正切函数。
- \( \ln \) 是自然对数函数。
- \( C \) 是任意常数，表示了函数族中不同的成员。
- \( 1 + x² \) 恒大于 0，因此对数中的表达式始终有意义，且无需加绝对值符号。
这个公式是我们在处理涉及到 \(\arctan(x)\) 的积分问题时最基本和最重要的一个结论。
【arctanx的积分】如何计算？——分步详解推导过程
计算 \(\arctan(x)\) 的不定积分不能直接使用基本积分公式，因为它不是一个简单的幂函数或容易通过简单换元法解决的函数。最常用的、也是标准的推导方法是分部积分法 (Integration by Parts)。
分部积分法回顾
分部积分法的公式是：
∫ u dv = uv – ∫ v du
这个方法的关键在于巧妙地将被积函数分解为两部分：一部分设为 \(u\)，另一部分连同 \(dx\) 设为 \(dv\)。选择的原则是让 \(u\) 容易求导，让 \(dv\) 容易积分，并且最重要的是，新的积分 ∫ v du 要比原积分 ∫ u dv 更容易计算。
对 arctan(x) 应用分部积分法
对于 ∫ arctan(x) dx，我们可以将其看作 ∫ arctan(x) * 1 dx。这是一个将函数看作是自身乘以 1 的常见技巧，以便应用分部积分法。
我们进行如下选择：
- 设 \(u = \arctan(x)\)。选择 \(\arctan(x)\) 作为 \(u\) 的原因是它的导数 \(du\) 是一个简单的有理函数，即 \(du = \frac{1}{1+x²} dx\)。
- 设 \(dv = 1 \, dx\)。选择 \(1 \, dx\) 作为 \(dv\) 的原因是它非常容易积分，即 \(v = \int 1 \, dx = x\)。
代入分部积分公式
现在，我们将选取的 \(u\)， \(dv\)，计算出的 \(du\)，和 \(v\) 代入分部积分公式 ∫ u dv = uv – ∫ v du：
∫ arctan(x) dx = (arctan(x)) * (x) – ∫ (x) * (\frac{1}{1+x²} dx)
整理后得到：
∫ arctan(x) dx = x arctan(x) – ∫ \frac{x}{1+x²} dx
计算剩余的积分
新的积分 ∫ \frac{x}{1+x²} dx 看起来比原积分简单，而且可以使用换元法 (Substitution Method) 来解决。
对于积分 ∫ \frac{x}{1+x²} dx：
- 设 \(w = 1 + x²\)。
- 计算 \(dw\)。对 \(w = 1 + x²\) 关于 \(x\) 求导：\(\frac{dw}{dx} = 2x\)，所以 \(dw = 2x \, dx\)。
- 注意到被积函数中有 \(x \, dx\)，而我们得到 \(dw = 2x \, dx\)。因此，\(x \, dx = \frac{1}{2} dw\)。
- 将 \(1+x²\) 替换为 \(w\)，将 \(x \, dx\) 替换为 \(\frac{1}{2} dw\)，原积分变为：
∫ \frac{x}{1+x²} dx = ∫ \frac{\frac{1}{2} dw}{w} = \frac{1}{2} ∫ \frac{1}{w} dw
积分 \(\frac{1}{w}\) 是基本积分：∫ \frac{1}{w} dw = ln|w| + C’。
所以，\(\frac{1}{2} ∫ \frac{1}{w} dw = \frac{1}{2} ln|w| + C’\)。
最后，将 \(w = 1 + x²\) 换回 \(x\)。由于 \(1 + x²\) 对于所有实数 \(x\) 都大于 0，所以 \(\frac{1}{2} ln|1 + x²| + C’ = \frac{1}{2} ln(1 + x²) + C’\)。
组合最终结果
将计算出的剩余积分结果代回分部积分的表达式：
∫ arctan(x) dx = x arctan(x) – ( \frac{1}{2} ln(1 + x²) + C’ )
∫ arctan(x) dx = x arctan(x) – \frac{1}{2} ln(1 + x²) – C’
我们将常数 \(-C’\) 与分部积分法自带的积分常数合并，记作 \(C\)。
最终得到不定积分公式：
∫ arctan(x) dx = x arctan(x) – ½ ln(1 + x²) + C
这个过程详细展示了如何通过分部积分法巧妙地将一个不易直接积分的函数转换为一个包含更容易积分项的表达式。
【arctanx的积分】为什么需要分部积分法？
理解为何分部积分法是求解 \(\arctan(x)\) 积分的标准方法，有助于加深对其推导过程的理解。
主要原因如下：
- 无直接基本积分公式： 在基本的积分表中，并没有 \(\arctan(x)\) 的直接积分公式，不像 \(x^n\)、\(\sin(x)\) 或 \(e^x\) 等函数。
- 简单换元法不适用： 像 ∫ 2x(1+x²)⁵ dx 这种可以通过令 \(u = 1+x²\) 轻松解决的换元法，对于 ∫ arctan(x) dx 并不奏效。没有合适的替换可以简化 \(\arctan(x)\) 本身。
- 分部积分法的选择优势： 分部积分法的关键在于选择 \(u\) 和 \(dv\)。选择 \(u = \arctan(x)\) 是因为我们知道它的导数 \(du = \frac{1}{1+x²} dx\) 是一个代数函数，并且 ∫ dv = ∫ 1 dx = x 也很容易。当把它们组合到 ∫ v du 中时，得到 ∫ x * \(\frac{1}{1+x²} dx\)，这个新的被积函数 \(\frac{x}{1+x²}\) 恰好可以通过简单的换元法（令 \(w = 1+x²\)）来解决。这种“降维”或“转化”的效果正是分部积分法在此时能够成功的根本原因。通过一次分部积分，我们将一个逆三角函数的积分转化为了一个有理函数与逆三角函数的乘积，以及一个可使用换元法解决的有理函数的积分。
因此，分部积分法为求解 \(\arctan(x)\) 积分提供了一条可行的、标准的路径，因为它能够将问题转化，使得剩余的积分项更容易处理。
【arctanx的积分】哪里会遇到？——常见的应用场景
\(\arctan(x)\) 的积分结果不仅是理论计算的一部分，它也出现在一些实际问题和更复杂的数学计算中。
以下是一些可能遇到 \(\arctan(x)\) 积分的场景：
- 微积分课程习题： 这是最直接的来源。在学习分部积分法或换元法时，\(\arctan(x)\) 的积分是一个经典的例题或习题。
- 求解涉及逆三角函数的更复杂积分： 在某些情况下，求解一个复杂的积分可能在某个步骤中分解出 \(\arctan(x)\) 的积分项。例如，通过三角换元或部分分式分解后，可能会出现 \(\arctan(x)\) 或与之相关的项，此时就需要知道它的积分公式。
- 计算曲线下面积或空间体积： 在应用微积分计算某些几何量时，如果描述区域边界的函数涉及到 \(\arctan(x)\)，那么计算面积或体积的定积分时就会用到其不定积分结果。
- 物理或工程问题： 虽然不那么常见直接出现 \(\arctan(x)\) 作为被积函数，但在某些振动、波或电磁学问题中，通过方程求解或傅里叶变换等手段，可能会间接产生涉及逆三角函数的积分，从而用到此公式。
- 级数展开与计算： 有时候，通过函数的泰勒级数或麦克劳林级数进行积分，尽管 \(\arctan(x)\) 本身有级数展开，但其积分结果的级数形式与直接积分公式是相符的。
总的来说，只要在一个数学问题中需要对 \(\arctan(x)\) 进行积分，无论是作为最终目标还是中间步骤，都会遇到其积分结果。
【arctanx的积分】定积分是多少？——计算定积分的例子
计算 \(\arctan(x)\) 的定积分，只需要先求出其不定积分，然后根据牛顿-莱布尼茨公式，计算不定积分在积分上限和下限处的差值即可。
牛顿-莱布尼茨公式：∫[a to b] f(x) dx = F(b) – F(a)，其中 F(x) 是 f(x) 的任意一个不定积分。
对于 ∫[a to b] arctan(x) dx，我们使用不定积分结果 \(F(x) = x arctan(x) – ½ ln(1 + x²)\)（这里的常数 C 在定积分计算中会互相抵消，所以通常忽略）。
计算 ∫[0 to 1] arctan(x) dx
这是一个常见的定积分例子，我们可以利用上面的不定积分结果进行计算。
- 首先，找到 \(\arctan(x)\) 的一个不定积分 \(F(x) = x arctan(x) – ½ ln(1 + x²)\)。
- 计算 \(F(x)\) 在上限 \(b=1\) 处的值 \(F(1)\)：
- 计算 \(F(x)\) 在下限 \(a=0\) 处的值 \(F(0)\)：
- 计算 \(F(1) – F(0)\)：
\(F(1) = 1 \cdot \arctan(1) – ½ \ln(1 + 1²)\)
\(F(1) = \arctan(1) – ½ \ln(2)\)
由于 \(\arctan(1) = \frac{\pi}{4}\) (因为 \(\tan(\frac{\pi}{4}) = 1\))，所以
\(F(1) = \frac{\pi}{4} – ½ \ln(2)\)
\(F(0) = 0 \cdot \arctan(0) – ½ \ln(1 + 0²)\)
\(F(0) = 0 \cdot 0 – ½ \ln(1)\)
由于 \(\arctan(0) = 0\) (因为 \(\tan(0) = 0\)) 且 \(\ln(1) = 0\)，所以
\(F(0) = 0 – ½ \cdot 0 = 0\)
∫[0 to 1] arctan(x) dx = \(F(1) – F(0)\)
∫[0 to 1] arctan(x) dx = \((\frac{\pi}{4} – ½ \ln(2)) – 0\)
∫[0 to 1] arctan(x) dx = \(\frac{\pi}{4} – ½ \ln(2)\)
这个例子说明，一旦掌握了 \(\arctan(x)\) 的不定积分公式，计算任意给定区间上的定积分就只是一个求值和相减的过程。
【arctanx的积分】怎么记忆和验证？
不定积分公式 ∫ arctan(x) dx = x arctan(x) – ½ ln(1 + x²) + C 可能看起来有点复杂，但有一些方法可以帮助记忆和验证。
记忆方法
虽然没有特别简单的助记口诀，但理解其来源（分部积分法）是最好的记忆方式。回想分部积分的步骤：
- 设 \(u = \arctan(x)\), \(dv = dx\)。
- 得到 \(du = \frac{1}{1+x²} dx\), \(v = x\)。
- 套用公式 \(uv – ∫ v du\)，得到 \(x \arctan(x) – ∫ x \frac{1}{1+x²} dx\)。
- 记忆住后面这个积分 ∫ \frac{x}{1+x²} dx 的结果是 \(\frac{1}{2} ln(1+x²)\)（这是一个常见的换元积分结果，可以单独记忆）。
- 将它们组合起来，就得到了最终公式。
通过重复推导几次，公式会自然印在脑海中。
验证方法
验证一个不定积分结果是否正确的方法是对结果进行求导，看是否能得到原始函数 \(\arctan(x)\)。
我们需要计算 \(\frac{d}{dx} (x \arctan(x) – ½ ln(1 + x²) + C)\)。根据导数的线性性质，可以对各项分别求导：
- 求导 \(x \arctan(x)\)：使用乘积法则 \((fg)’ = f’g + fg’\)。
\(\frac{d}{dx} (x \arctan(x)) = (\frac{d}{dx} x) \cdot \arctan(x) + x \cdot (\frac{d}{dx} \arctan(x))\)
\(= 1 \cdot \arctan(x) + x \cdot \frac{1}{1+x²}\)
\(= \arctan(x) + \frac{x}{1+x²}\) - 求导 \(- ½ ln(1 + x²)\)：使用链式法则 \((f(g(x)))’ = f'(g(x)) \cdot g'(x)\)。
设 \(y = – ½ ln(w)\) 且 \(w = 1 + x²\)。
\(\frac{dy}{dw} = – ½ \cdot \frac{1}{w}\)
\(\frac{dw}{dx} = 2x\)
\(\frac{d}{dx} (- ½ ln(1 + x²)) = \frac{dy}{dw} \cdot \frac{dw}{dx} = (- ½ \cdot \frac{1}{1+x²}) \cdot (2x)\)
\(= – \frac{x}{1+x²}\) - 求导常数 \(C\): \(\frac{d}{dx} (C) = 0\)。
将各项求导结果相加：
\(\frac{d}{dx} (x \arctan(x) – ½ ln(1 + x²) + C) = (\arctan(x) + \frac{x}{1+x²}) + (-\frac{x}{1+x²}) + 0\)
\(= \arctan(x) + \frac{x}{1+x²} – \frac{x}{1+x²}\)
\(= \arctan(x)\)
由于对积分结果求导后得到了原始被积函数 \(\arctan(x)\)，这证明了不定积分公式是正确的。这种求导验证是检查积分结果是否正确的可靠方法。
