矢量和向量：究竟是什么？
在数学和物理学中，矢量（也常称为向量）是一个既有大小（或称模，magnitude）又有方向的量。这与标量（scalar）形成对比，标量只有大小，没有方向。理解这一点是认识矢量的第一步。
想象一下，你说一辆车以每小时60公里的速度行驶。这里的“每小时60公里”是一个标量，它只告诉了你速度的大小。但如果你说一辆车以每小时60公里的速度向东行驶，那么“每小时60公里向东”就是一个矢量，它包含了大小和方向。
常见的矢量包括：
- 位移：从一个点到另一个点的直线距离和方向。
- 速度：物体运动的快慢和方向。
- 加速度：速度变化率和方向。
- 力：物体相互作用的大小和方向。
- 动量：物体的质量与速度的乘积，包含了运动的惯性大小和方向。
- 电场强度和磁场强度：描述场的大小和方向。
为什么我们需要矢量？
仅仅用标量来描述世界是远远不够的。许多重要的物理现象和数学概念天然地具有方向性。忽略方向会导致对现象的不完整甚至错误的理解。
例如，两个大小相等的力作用在同一物体上。如果它们方向相同，合力是它们大小之和；如果它们方向相反，合力可能是零。这完全取决于力的方向，而矢量正是用来精确描述这种方向性的工具。
在几何学中，矢量可以用来表示点之间的相对位置（位移），这使得我们能够方便地进行平移、旋转等几何变换。
在数据科学中，高维数据点常常被视为高维空间的矢量，这使得我们可以利用矢量的概念（如距离、夹角）来分析数据之间的关系。
矢量的表示方法
矢量可以通过几种方式表示，以适应不同的需求：
图形表示
在二维或三维空间中，矢量通常用一个带有箭头的有向线段表示。箭头的起点是矢量的作用点（如果讨论的是力的作用点等），或者仅仅是表示矢量的起始位置；箭头指向矢量的方向；线段的长度代表矢量的大小。例如，在坐标系中，一个从原点指向点(3, 4)的箭头代表一个特定的矢量。
分量表示
在一个选定的坐标系（如直角坐标系）中，矢量可以分解为沿坐标轴方向的分量。例如，在二维平面上，一个矢量可以表示为 (x, y)，其中 x 是矢量在 x 轴上的投影长度（带符号），y 是矢量在 y 轴上的投影长度（带符号）。在三维空间中，表示为 (x, y, z)。
分量表示是进行矢量计算时最常用的形式，因为它将矢量运算转化为对应分量的标量运算。
代数表示（基矢量表示）
利用基矢量也可以表示任意矢量。在二维直角坐标系中，常用的基矢量是沿 x 轴正方向的单位矢量 **i** (1, 0) 和沿 y 轴正方向的单位矢量 **j** (0, 1)。任意矢量 (x, y) 都可以表示为 x**i** + y**j**。在三维空间中，常用基矢量 **i**, **j**, **k**，矢量 (x, y, z) 表示为 x**i** + y**j** + z**k**。
如何进行矢量运算？（矢量有多少种“相处”方式？）
矢量的运算定义了它们如何相互作用或与标量结合，这些运算是应用矢量的基础。
矢量的模（大小）
矢量的模表示其大小或长度。对于在二维平面上的矢量 **v** = (x, y)，其模记作 |**v**|，计算公式为：
|**v**| = √(x² + y²)
对于在三维空间中的矢量 **v** = (x, y, z)，其模为：
|**v**| = √(x² + y² + z²)
矢量的模是一个非负标量。
矢量加法
两个矢量相加，可以理解为两个位移的叠加效果。
图形方法：可以使用三角形法则或平行四边形法则。三角形法则：将第二个矢量的起点放在第一个矢量的终点，从第一个矢量的起点到第二个矢量的终点的有向线段即为合矢量。平行四边形法则：将两个矢量的起点放在同一点，以这两个矢量为邻边作平行四边形，从共同起点出发的对角线即为合矢量。
分量方法：如果 **a** = (ax, ay) 且 **b** = (bx, by)，那么 **a** + **b** = (ax + bx, ay + by)。直接将对应分量相加。三维矢量同理。
矢量减法
矢量减法可以定义为加上一个矢量的负矢量。矢量的负矢量与原矢量大小相等，方向相反。
图形方法：使用三角形法则，从第一个矢量的终点画出指向第二个矢量的终点的有向线段即为 **a** – **b**。
分量方法：如果 **a** = (ax, ay) 且 **b** = (bx, by)，那么 **a** – **b** = (ax – bx, ay – by)。直接将对应分量相减。三维矢量同理。
矢量与标量的乘法
一个矢量与一个标量 k 相乘，结果仍然是一个矢量。新矢量的方向与原矢量相同（如果 k > 0），方向相反（如果 k < 0），大小是原矢量大小的 |k| 倍。
分量方法：如果 **v** = (x, y)，那么 k**v** = (kx, ky)。将每个分量都乘以标量 k。
矢量乘法：点乘（数量积）
两个矢量进行点乘（记作 **a** · **b**），结果是一个标量。点乘可以用来计算一个矢量在另一个矢量方向上的“投影”的大小，或者用来判断两个矢量是否垂直。
计算公式：
**a** · **b** = |**a**| |**b**| cosθ
其中 θ 是 **a** 和 **b** 之间的夹角。
分量方法：如果 **a** = (ax, ay, az) 且 **b** = (bx, by, bz)，那么：
**a** · **b** = ax*bx + ay*by + az*bz
在二维情况下，去掉 z 分量即可。如果点乘结果为 0，且两个矢量都不是零矢量，则它们相互垂直。
矢量乘法：叉乘（矢量积）
两个矢量进行叉乘（记作 **a** × **b**），结果是一个矢量。叉乘结果矢量的方向垂直于 **a** 和 **b** 所在的平面，其方向遵循右手定则；其大小等于以 **a** 和 **b** 为邻边所构成的平行四边形的面积。注意：叉乘主要用于三维空间。
大小计算公式：
|**a** × **b**| = |**a**| |**b**| sinθ
其中 θ 是 **a** 和 **b** 之间的夹角。
分量方法：如果 **a** = (ax, ay, az) 且 **b** = (bx, by, bz)，那么 **a** × **b** = (aybz – azby, azbx – axbz, axby – aybx)。这可以用行列式表示来记忆。
矢量在哪里被大量使用？（应用领域）
矢量作为描述具有方向性量的基础工具，被广泛应用于科学、工程、计算机科学等众多领域。
物理学
- 力学： 分析物体的受力情况（力的合成与分解）、计算速度、加速度、动量、冲量。
- 电磁学： 描述电场强度、磁场强度、电磁波的传播方向。
- 流体力学： 描述流体的速度场、力的分布。
工程学
- 结构工程： 分析建筑物或桥梁的应力、承重，计算各部分的受力矢量。
- 机器人学： 控制机器人手臂的运动，需要精确计算各关节的角速度、角加速度矢量，以及末端执行器的位置和方向矢量。
- 航空航天： 导航、姿态控制、轨道计算，都涉及大量的矢量运算。
- 电路分析： 虽然基础电路常用标量，但在交流电路或涉及场的分析中，矢量（如相量）非常有用。
计算机图形学
计算机图形学是矢量的核心应用领域之一。
- 位置和方向： 用矢量表示三维空间中的点位置、物体朝向（方向矢量）、表面法线（垂直于表面的方向矢量）。
- 变换： 平移、旋转、缩放等操作都可以用矩阵和矢量乘法来实现。
- 光照和阴影： 计算光线方向矢量、表面法线矢量，进行点乘来确定光照强度。
- 动画： 描述物体的位移、速度、加速度等随时间的变化。
数据科学与机器学习
在高维空间中，矢量是表示数据点的基本单位。
- 特征矢量： 将一个样本的各种属性（特征）组合成一个高维矢量。
- 距离和相似度： 利用矢量之间的距离（如欧氏距离，即差向量的模）或夹角（利用点乘计算余弦相似度）来衡量数据点之间的相似性。
- 降维： 主成分分析（PCA）等技术涉及找到数据在某些方向矢量上的投影。
- 优化算法： 梯度下降等算法利用梯度矢量（表示函数增长最快的方向）来寻找函数的极小值。
地理信息系统 (GIS)
- 表示坡度坡向（坡度大小和方向）。
- 描述风向风速、洋流等具有方向性的自然现象。
- 进行空间分析和建模。
总结
矢量作为同时包含大小和方向的数学量，是描述和分析自然界及抽象概念中众多现象的强大工具。从物理学中的力、速度，到计算机图形学中的位置、方向，再到数据科学中的高维数据点，矢量的概念及其运算无处不在，它们使得我们能够更精确、更全面地理解和解决问题。掌握矢量的基本概念、表示方法和运算规则，是学习和应用现代科学技术的重要基础。
