求伴随矩阵概念、作用、计算方法与步骤详解

在矩阵运算中，伴随矩阵是一个非常重要的概念。理解和掌握如何求伴随矩阵，对于深入学习线性代数以及解决相关数学问题至关重要。本文将围绕“求伴随矩阵”这一主题，详细解答相关的疑问，帮助您透彻理解并掌握其计算方法。

伴随矩阵是什么？

简单来说，一个方阵的伴随矩阵，是其代数余子式矩阵的转置。

这涉及到几个概念：

• 方阵： 矩阵的行数等于列数。伴随矩阵只对方阵有定义。
• 余子式 (Minor)： 对于一个 n x n 的矩阵 A，其元素 a_ij 的余子式 M_ij，是去掉矩阵 A 的第 i 行和第 j 列后，剩下的 (n-1) x (n-1) 子矩阵的行列式值。
• 代数余子式 (Cofactor)： 对于元素 a_ij，其代数余子式 C_ij 定义为 C_ij = (-1)^i+j * M_ij。代数余子式就是在余子式前面乘以一个符号因子 (-1)^i+j。
• 代数余子式矩阵 (Cofactor Matrix)： 这是一个与原矩阵同阶的矩阵，其第 i 行第 j 列的元素就是原矩阵中 a_ij 的代数余子式 C_ij。
• 转置 (Transpose)： 将一个矩阵的行变成列，列变成行。如果原矩阵是 C，其转置 C^T 的第 i 行第 j 列的元素是原矩阵 C 的第 j 行第 i 列的元素。

所以，求伴随矩阵的第一步是计算原矩阵中每个元素的代数余子式，构成代数余子式矩阵，然后对这个矩阵进行转置，得到的就是伴随矩阵，通常记作 adj(A) 或 A^*。

为什么需要计算伴随矩阵？它的主要作用是什么？

计算伴随矩阵最主要、最直接的用途是求矩阵的逆。

对于一个可逆的方阵 A (即行列式 det(A) ≠ 0)，其逆矩阵 A^-1 可以通过伴随矩阵来计算：

A^-1 = (1 / det(A)) * adj(A)

这个公式是矩阵求逆的一种基本方法，尤其在理论推导和处理小阶矩阵时非常有用。它清晰地展示了矩阵的逆与伴随矩阵以及行列式之间的关系。

虽然对于大型矩阵的数值计算，通常使用高斯消元法（或称为行变换法）来求逆更为高效和稳定，但伴随矩阵的方法提供了理解矩阵求逆原理的深刻视角，并且在许多数学证明中是不可或缺的工具。

在哪些地方会遇到或需要计算伴随矩阵？

伴随矩阵的概念和计算主要出现在以下地方：

• 线性代数课程： 这是核心的学习内容，用于理解矩阵的性质、行列式的应用以及矩阵求逆。
• 矩阵理论相关的数学问题： 在需要进行理论推导、证明矩阵恒等式或分析矩阵结构时，伴随矩阵会作为工具出现。
• 某些特定的应用场景： 尽管数值计算中不常用，但在一些需要解析表达逆矩阵的场合（如控制理论、理论物理中推导某些公式），伴随矩阵公式可能会被用到。
• 考试和习题： 作为线性代数学习的一部分，计算伴随矩阵是常见的考点和练习题。

计算伴随矩阵的复杂度如何？

计算伴随矩阵的复杂度随着矩阵的阶数 n 增加而显著增加。这是因为：

1. 你需要计算 n² 个元素的代数余子式。
2. 每一个代数余子式都需要计算一个 (n-1) x (n-1) 阶子矩阵的行列式。
3. 计算一个 k x k 阶矩阵的行列式，如果使用定义展开（虽然教学常用），其复杂度是 O(k!)，这是阶乘级的增长，非常快。如果使用更高效的方法（如基于高斯消元），复杂度大约是 O(k³)。

因此，计算伴随矩阵的总复杂度大致是 n² 乘以计算一个 (n-1) x (n-1) 行列式的复杂度。即使使用较高效的方法，计算一个 n x n 矩阵的伴随矩阵复杂度也接近 O(n⁵) 或更高（具体取决于如何实现行列式计算和是否优化），远高于求逆常用的高斯消元法的 O(n³)。

正因为如此，对于阶数较大的矩阵，人们通常不会直接通过计算伴随矩阵来求逆，而是使用高斯消元等计算效率更高的方法。

如何计算伴随矩阵？具体的步骤是怎样的？

计算伴随矩阵的核心步骤是：

1. 求出原矩阵中每个元素的余子式。
2. 根据余子式求出每个元素的代数余子式。
3. 将所有代数余子式按原位置排好，构成代数余子式矩阵。
4. 将代数余子式矩阵转置，得到伴随矩阵。

详细步骤：

设原矩阵为 n x n 的矩阵 A：

A =

$$
\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}
\end{pmatrix}
$$

1. 计算所有余子式 M_ij：

   对于矩阵 A 中的每一个元素 a_ij (i 从 1 到 n, j 从 1 到 n)，移除 A 的第 i 行和第 j 列，得到一个 (n-1) x (n-1) 的子矩阵。计算这个子矩阵的行列式，结果就是 M_ij。

   例如，对于 3×3 矩阵 A，计算 M₁₁ 就是计算去掉 A 的第一行和第一列后剩下的 2×2 子矩阵的行列式。

2. 计算所有代数余子式 C_ij：

   根据公式 C_ij = (-1)^i+j * M_ij 计算出每一个元素的代数余子式。符号 (-1)^i+j 形成一个棋盘格 pattern：

   $$
   \begin{pmatrix}
   + & – & + & \cdots \\
   – & + & – & \cdots \\
   + & – & + & \cdots \\
   \vdots & \vdots & \vdots & \ddots
   \end{pmatrix}
   $$

   这意味着如果 i+j 是偶数，C_ij = M_ij；如果 i+j 是奇数，C_ij = -M_ij。

3. 构成代数余子式矩阵 C：

   将计算出的所有代数余子式 C_ij 按照原元素 a_ij 的位置排列，形成一个 n x n 的矩阵 C：

   C =

   $$
   \begin{pmatrix}
   C_{11} & C_{12} & \cdots & C_{1n} \\
   C_{21} & C_{22} & \cdots & C_{2n} \\
   \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
   C_{n1} & C_{n2} & \cdots & C_{nn}
   \end{pmatrix}
   $$

4. 转置代数余子式矩阵 C：

   将矩阵 C 的行和列互换，得到其转置矩阵 C^T。这个转置矩阵就是伴随矩阵 adj(A)。

   adj(A) = C^T =

   $$
   \begin{pmatrix}
   C_{11} & C_{21} & \cdots & C_{n1} \\
   C_{12} & C_{22} & \cdots & C_{n2} \\
   \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
   C_{1n} & C_{2n} & \cdots & C_{nn}
   \end{pmatrix}
   $$

   注意伴随矩阵的第 i 行第 j 列的元素是原矩阵中 a_ji 的代数余子式 C_ji。

计算示例：

例 1：求 2×2 矩阵的伴随矩阵

设矩阵 A =

$$
\begin{pmatrix}
a & b \\
c & d
\end{pmatrix}
$$

1. 计算余子式：
   • M₁₁ (去掉第 1 行第 1 列) = det(d) = d
   • M₁₂ (去掉第 1 行第 2 列) = det(c) = c
   • M₂₁ (去掉第 2 行第 1 列) = det(b) = b
   • M₂₂ (去掉第 2 行第 2 列) = det(a) = a
2. 计算代数余子式：
   • C₁₁ = (-1)¹⁺¹ * M₁₁ = +1 * d = d
   • C₁₂ = (-1)¹⁺² * M₁₂ = -1 * c = -c
   • C₂₁ = (-1)²⁺¹ * M₂₁ = -1 * b = -b
   • C₂₂ = (-1)²⁺² * M₂₂ = +1 * a = a
3. 构成代数余子式矩阵：

   C =

   $$
   \begin{pmatrix}
   C_{11} & C_{12} \\
   C_{21} & C_{22}
   \end{pmatrix}
   =
   \begin{pmatrix}
   d & -c \\
   -b & a
   \end{pmatrix}
   $$

4. 转置代数余子式矩阵：

   adj(A) = C^T =

   $$
   \begin{pmatrix}
   d & -b \\
   -c & a
   \end{pmatrix}
   $$

   这是一个非常常见的 2×2 伴随矩阵公式，记住它能加快计算。

例 2：求 3×3 矩阵的伴随矩阵

设矩阵 B =

$$
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
0 & 1 & 4 \\
5 & 6 & 0
\end{pmatrix}
$$

我们需要计算 9 个代数余子式。

1. 计算余子式和代数余子式：
   • C₁₁ = (-1)¹⁺¹ * det($\begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 6 & 0 \end{pmatrix}$) = +1 * (1*0 – 4*6) = -24
   • C₁₂ = (-1)¹⁺² * det($\begin{pmatrix} 0 & 4 \\ 5 & 0 \end{pmatrix}$) = -1 * (0*0 – 4*5) = -1 * (-20) = 20
   • C₁₃ = (-1)¹⁺³ * det($\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 5 & 6 \end{pmatrix}$) = +1 * (0*6 – 1*5) = -5
   • C₂₁ = (-1)²⁺¹ * det($\begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 6 & 0 \end{pmatrix}$) = -1 * (2*0 – 3*6) = -1 * (-18) = 18
   • C₂₂ = (-1)²⁺² * det($\begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 5 & 0 \end{pmatrix}$) = +1 * (1*0 – 3*5) = -15
   • C₂₃ = (-1)²⁺³ * det($\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 5 & 6 \end{pmatrix}$) = -1 * (1*6 – 2*5) = -1 * (-4) = 4
   • C₃₁ = (-1)³⁺¹ * det($\begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 4 \end{pmatrix}$) = +1 * (2*4 – 3*1) = 5
   • C₃₂ = (-1)³⁺² * det($\begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 4 \end{pmatrix}$) = -1 * (1*4 – 3*0) = -4
   • C₃₃ = (-1)³⁺³ * det($\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$) = +1 * (1*1 – 2*0) = 1
2. 构成代数余子式矩阵：

   C =

   $$
   \begin{pmatrix}
   -24 & 20 & -5 \\
   18 & -15 & 4 \\
   5 & -4 & 1
   \end{pmatrix}
   $$

3. 转置代数余子式矩阵：

   adj(B) = C^T =

   $$
   \begin{pmatrix}
   -24 & 18 & 5 \\
   20 & -15 & -4 \\
   -5 & 4 & 1
   \end{pmatrix}
   $$

这就是矩阵 B 的伴随矩阵。

有没有其他计算伴随矩阵的方法？

标准定义和最直接的计算方法就是基于代数余子式和转置。原则上，任何能够计算行列式的方法都可以用来计算余子式，进而得到伴随矩阵。

在计算数学中，通常不会单独为了求伴随矩阵而进行上述繁琐的步骤。如果需要伴随矩阵是为了求逆，那么高斯消元法是更常用的工具。如果需要伴随矩阵进行理论分析，则上述基于代数余子式的定义是基础。

因此，虽然计算行列式本身有不同的算法（如按行/列展开、三角化等），这些会影响余子式计算的效率，但“通过代数余子式矩阵的转置来定义和计算伴随矩阵”这一核心方法是普遍接受的。

总而言之，求伴随矩阵是线性代数中的一项基本技能，掌握其定义和计算步骤（尤其是代数余子式的计算）是关键。虽然计算过程可能繁琐，特别对于高阶矩阵，但理解其原理和用途（主要是用于求逆）对于深入学习矩阵理论非常重要。