三角形的外心，是几何学中一个重要的概念，它与三角形及其外接圆紧密相连。不同于三角形的内心（角平分线交点）或重心（中线交点），外心有着自己独特的定义、性质和位置特点。本文将围绕外心，详细解答关于它的一系列疑问。
外心是什么？定义与基本属性
简单来说，三角形的外心是三角形三条边的垂直平分线的交点。
这个定义引出了外心最重要的性质：外心到三角形三个顶点的距离相等。
正是因为这个性质，以外心为圆心，以外心到任意顶点的距离为半径所作的圆，会恰好通过三角形的所有三个顶点。这个圆被称为三角形的外接圆，而外心就是这个外接圆的圆心，外心到顶点的距离就是外接圆的半径（通常用 R 表示）。
为什么是垂直平分线的交点？
理解外心为什么是垂直平分线的交点，需要回顾垂直平分线的性质：平面上，一条线段的垂直平分线上任意一点，到这条线段两个端点的距离相等。
- 考虑三角形的一条边 AB。边 AB 的垂直平分线上所有的点，到 A 和 B 的距离都相等。
- 考虑三角形的另一条边 BC。边 BC 的垂直平分线上所有的点，到 B 和 C 的距离都相等。
- 外心是这两条垂直平分线的交点。因此，它既到 A 和 B 的距离相等（因为它在 AB 的垂直平分线上），又到 B 和 C 的距离相等（因为它在 BC 的垂直平分线上）。
综合起来，外心到 A、到 B、到 C 的距离都相等。同理，如果画出第三条边 AC 的垂直平分线，根据同样的逻辑，它也会通过这个点，因为这个点到 A 和 C 的距离已经相等了。这证明了三条垂直平分线是共点的。
外心在哪里？与三角形类型的关系
三角形的外心并不是总在三角形内部。它的位置取决于三角形的类型：
锐角三角形的外心
对于所有三个角都是锐角的三角形（锐角三角形），它的外心总是在三角形的内部。这是因为在锐角三角形中，三条边的垂直平分线的交点会落在三角形的边界以内。
直角三角形的外心
对于有一个角是直角的三角形（直角三角形），它的外心总是在斜边的中点上。这是直角三角形的一个非常特殊的性质。这也解释了为什么“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”——因为斜边的中点是外心，它到三个顶点的距离相等，而其中两个顶点是直角顶点，另一个顶点是直角对面的那个顶点，所以中点到三个顶点的距离就是斜边的一半。
钝角三角形的外心
对于有一个角是钝角的三角形（钝角三角形），它的外心总是在三角形的外部。钝角所对的边是三角形中最长的边，外心会位于这条长边“外面”的那一侧。
有多少个外心？距离有多少？
一个给定的三角形，只有唯一一个外心。这是因为平面内不平行且不重合的三条直线（在非退化三角形中，垂直平分线不会平行或重合）最多只有一个交点，而我们已经证明了三条垂直平分线是共点的。
至于“距离有多少”，这通常指的是外心到三角形顶点的距离，即外接圆的半径 R。这个距离不是固定的，它取决于三角形的具体边长和角度。
外接圆半径 R 可以用多种方法计算：
- 已知边长 a, b, c 和三角形面积 K： R = (abc) / (4K)
- 已知一条边长 a 和它所对的角 A： R = a / (2 * sin(A)) 。同理，R = b / (2 * sin(B)) = c / (2 * sin(C))。这是正弦定理的一种表达形式。
所以，虽然外心的数量只有一个，但外心到顶点的距离（外接圆半径 R）是一个可变的数值，由三角形的尺寸决定。
如何找到外心？几何作图与坐标计算
找到三角形外心的方法主要有两种：几何作图法和解析几何（坐标）计算法。
几何作图法
根据外心的定义，只需要作出任意两条边的垂直平分线，它们的交点即是外心。
- 选择两条边： 比如选择三角形的边 AB 和 BC。
- 作第一条垂直平分线：
- 找到边 AB 的中点 M。
- 过点 M 作垂直于 AB 的直线。这条直线就是边 AB 的垂直平分线。
- 作第二条垂直平分线：
- 找到边 BC 的中点 N。
- 过点 N 作垂直于 BC 的直线。这条直线就是边 BC 的垂直平分线。
- 确定交点： 画出这两条垂直平分线，它们会相交于一点。这个交点就是三角形的外心。为了验证，你可以作出第三条边 AC 的垂直平分线，它也会通过同一点。
坐标计算法
如果在坐标系中知道三角形三个顶点的坐标 A(x₁, y₁), B(x₂, y₂), C(x₃, y₃)，可以通过求垂直平分线的方程来计算外心的坐标 (x, y)。
- 求任意两条边的中点坐标：
- 边 AB 的中点 M 坐标为 ((x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2)。
- 边 BC 的中点 N 坐标为 ((x₂+x₃)/2, (y₂+y₃)/2)。
- 求任意两条边的斜率：
- 边 AB 的斜率 kAB = (y₂-y₁) / (x₂-x₁) (如果 x₁=x₂, 则 AB 是竖直线，垂直平分线是水平线)。
- 边 BC 的斜率 kBC = (y₃-y₂) / (x₃-x₂) (如果 x₂=x₃, 则 BC 是竖直线，垂直平分线是水平线)。
- 求对应边的垂直平分线的斜率：
- 垂直平分线的斜率与其垂直的线段斜率的乘积是 -1。
- 边 AB 的垂直平分线的斜率 k⊥AB = -1 / kAB (如果 kAB 是 0，则垂直平分线斜率无穷大，是竖直线；如果 kAB 无穷大，则垂直平分线斜率是 0，是水平线)。
- 边 BC 的垂直平分线的斜率 k⊥BC = -1 / kBC (处理竖直/水平线情况同上)。
- 写出两条垂直平分线的方程：
- 使用点斜式方程 y – y₀ = m(x – x₀)，其中 (x₀, y₀) 是中点坐标，m 是垂直平分线斜率。
- 第一条垂直平分线（过 M 且垂直于 AB）的方程：y – (y₁+y₂)/2 = k⊥AB (x – (x₁+x₂)/2)。
- 第二条垂直平分线（过 N 且垂直于 BC）的方程：y – (y₂+y₃)/2 = k⊥BC (x – (x₂+x₃)/2)。
- 解方程组： 将这两个线性方程联立，解出 x 和 y 的值，即为外心的坐标 (x, y)。
这种方法虽然计算量稍大，但在需要精确坐标时非常有用。
外心怎么与其他要素关联？
外心不仅仅是三条垂直平分线的交点，它还与其他重要的三角形几何中心和性质有关联。
- 与外接圆： 外心是外接圆的圆心，这一关联是其定义中最重要的应用。
- 与顶点： 外心到三个顶点的距离相等，这个基本性质定义了外接圆。
- 与欧拉线： 对于任意非等边三角形，外心、重心和垂心（三条高的交点）位于同一条直线上，这条直线称为欧拉线。在等边三角形中，外心、内心、重心、垂心四点合一。
- 与三角函数/边长： 正弦定理直接关联了三角形的边长、对角正弦值与外接圆半径（外心到顶点距离），即 a/sin A = b/sin B = c/sin C = 2R。
总之，三角形的外心是一个具有明确几何定义、位置特性和计算方法的点。理解它是垂直平分线的交点以及它到顶点的等距离性质，是掌握这一概念的关键。它的位置随三角形类型变化，并且通过外接圆将三角形的三个顶点联系起来。
